Publicado no Encontro de Saberes 2016
Evento: XXIV Seminário de Iniciação Científica
Área: CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
Subárea: Matemática
Órgão de Fomento: Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais
| Título |
| Pontos Críticos de Operadores em Espaços de Banach e existência de soluções para Equações Diferenciais Parciais. |
| Autores |
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RICARDO MARTINS MENDES GUIMARAES (Autor) EDER MARINHO MARTINS (DEMAT) (Orientador) |
| Resumo |
| Um dos principais objetivos no estudo de Equações Diferenciais Parciais (EDP) é a busca pela existência de soluções para problemas de valor inicial e/ou de contorno envolvendo-as. Há uma equivalência entre a existência de pontos críticos de um operador e soluções de uma EDP: associa-se à EDP um operador adequado, cujos pontos críticos são soluções da equação. Deste modo, nossa estratégia é garantir a existência de pontos críticos para operadores associados à EDP's específicas que estudamos. Essa maneira de abordar o problema faz parte das técnicas chamadas de Variacionais - Cálculo das Variações -, que basicamente expande a teoria do cálculo de funções de uma variável para espaços de dimensão infinita. Além de sua importância dentro da Matemática, o Cálculo Variacional tem grande importância em diversas áreas como física matemática, engenharia, economia e dentre outras. Estudamos inicialmente o teorema de Lax-Milgran, que garante, via um operador linear, a existência de solução fraca para a equação de Poisson com condições homogêneas de Dirichlet na fronteira. Posteriormente estudamos a Equação de Euler-Lagrange que apresenta uma classe de EDP's que estão relacionadas a um operador integral. Para estudar problemas específicos, tais operadores são definidos em espaços de Banach adequados. Utilizamos diversos resultados de existência de pontos críticos, cada um adequado a um tipo de problema. Aplicamos os Teoremas de Minimizaçao e do Passo da Montanha a algumas EDP's envolvendo os operadores laplaciano e p-laplaciano. No momento, está em fase de execução a discussão da existência de solução para uma EDP elíptica via Teorema de Linking. Objetivamos ao término deste trabalho ter apresentado uma gama de aplicações de Teoremas do cálculo das variações em Equações Diferenciais Parciais. |
